Single Period ( Static Method)

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Assume that the returns are IID

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1. OLS in Differences (OLSD)

• 公式：$\Delta P_{1,t} = \alpha + \sum_{n=2}^{N} \beta_n \Delta P_{n,t} + \epsilon_t$
  • 其中 $\Delta P$ 代表觀測值之間的市場價格變化。
• 對沖比率的求解：
  • $\omega_n = -\beta_n$，其中 $\omega_n$ 是對沖比率。
• 條件：
  • $\alpha$ 必須在統計上不顯著，這意味著截距項應該接近零，以確保市場變化完全由對沖資產組成。
• 限制：
  • $\alpha$ 必須為零。
  • 殘差 $\epsilon$必須是獨立且正態分佈（IID Normal）。
  • 假設目標投資組合的任何變化 $P_1$ 都需要由對沖投資組合（由 2 到 n 資產的加權和）來抵消。

2. Minimum Variance Portfolio (MVP)

• 基本原理：
  • 基於馬科維茲 (Markowitz) 於 1952 年提出的理論，目的是找到一個可以最小化波動性的投資組合。
• 公式：
  • 最小化：$\beta' V \beta$，其中 $V$ 是價格變動的協方差矩陣，並且其第一列表示與目標投資組合( $P_1$ ）的協方差。
  • 條件：$\beta' a = 1$，確保投資組合權重的總和為 1。
• 解法：
  • 使用拉格朗日乘數法解決，目標函數：$\frac{1}{2} \beta' V \beta - \lambda (\beta' a - 1)$。
  • 最佳解：$\beta = \frac{V^{-1} a}{a' V^{-1} a}$。
  • 權重計算：$\omega_j = \frac{\beta_j}{\beta_1}$，表示每個資產的相對權重。
• 結果：
  • 在正態分佈假設下，MVP 提供最小風險的對沖解決方案。

3. Principal Components Analysis (PCA)

• 目標：
  • 計算權重向量 \($\beta$\)，以對沖 m 個最大的主成分，將組合的位置暴露在低方差的成分（特徵值較低的部分）。
• 步驟：
  1. 找到滿足 $W^{*'} \beta = 0_m$ 的 $\beta$，這意味著將權重配置於不受對沖的特徵向量。
  2. $W^*$ 是經過轉置的特徵向量矩陣，移除與未對沖的特徵向量相關的列。
• 優勢：
  • 能夠找出對主要風險來源進行對沖的解決方案，有助於更有效地降低風險。

總結

• OLSD 側重於價格變化的對應關係，適合分析短期價格波動。
• MVP 通過最小化波動性來找到最佳對沖比率，更適合追求穩定性的投資者。